分数関数を繰り返し合成した関数（A）

(1) $f_2(x)=f(f_1(x))=\dfrac{\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{x}{x+1}+1}=\dfrac{x}{x+(x+1)}=\dfrac{x}{2x+1}$ $f_3(x)=f(f_2(x))=\dfrac{\dfrac{x}{2x+1}}{\dfrac{x}{2x+1}+1}=\dfrac{x}{x+(2x+1)}=\dfrac{x}{3x+1}$ (2) $f_n(x)=\dfrac{x}{nx+1}$ と推測できる．これを数学的帰納法で示す． [1] $n=1$ のとき $f_1(x)=\dfrac{x}{x+1}$ で成り立つ． [2] $n=k$ のとき $f_k(x)=\dfrac{x}{kx+1}$ が成り立つと仮定すると \[ f_{k+1}(x)=f(f_k(x))=\frac{\dfrac{x}{kx+1}}{\dfrac{x}{kx+1}+1}=\frac{x}{x+(kx+1)}=\frac{x}{(k+1)x+1} \] となり，$n=k+1$ のときも成り立つ． [1]，[2] から，すべての自然数 $n$ について $f_n(x)=\dfrac{x}{nx+1}$