定義域を制限した2次関数と逆関数の交点（B）

逆関数のグラフは $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称である．点 $(p,\,q)$ が 2 つのグラフの共有点であるための条件は \[ q=a-p^2,\quad p=a-q^2,\quad p\geqq 0,\quad q\geqq 0 \] 第 1 式から第 2 式を引くと $q-p=q^2-p^2$ すなわち $(q-p)(q+p-1)=0$ 直線 $y=x$ 上にない共有点では $p\neq q$ であるから $p+q=1$．このとき \[ pq=p(1-p)=p-p^2=p-(a-q)=p+q-a=1-a \] よって $p$，$q$ は 2 次方程式 $t^2-t+(1-a)=0$ の 2 つの解である．逆に，この方程式が異なる 2 つの 0 以上の実数解 $p$，$q$ をもつとき，解と係数の関係より $p+q=1$ である．また，$p^2-p+(1-a)=0$ より $a-p^2=1-p=q$，$q^2-q+(1-a)=0$ より $a-q^2=1-q=p$ となるから，点 $(p,\,q)$ は直線 $y=x$ 上にない共有点である． 求める条件は，この 2 次方程式が異なる 2 つの 0 以上の解をもつことで 判別式 $D=1-4(1-a)>0$ より $a>\dfrac{3}{4}$ 解の和 $1>0$，解の積 $1-a\geqq 0$ より $a\leqq 1$ よって $\dfrac{3}{4}<a\leqq 1$