定義域を制限した2次関数と逆関数の交点（A）

(1) 定義域 $x\geqq 0$ に対して値域は $y\leqq 1$ である．$x^2=1-y$，$x\geqq 0$ より $x=\sqrt{1-y}$ よって $f^{-1}(x)=\sqrt{1-x}\quad (x\leqq 1)$ (2) $f(x)$ は減少関数であるから，共有点が直線 $y=x$ 上にあるとは限らない． 点 $(p,\,q)$ が共有点であるための条件は，$q=f(p)$ かつ $p=f(q)$ であり，$p\geqq 0$，$q\geqq 0$ である． \[ q=1-p^2\ \cdots\text{①},\qquad p=1-q^2\ \cdots\text{②} \] ①$-$② より $q-p=q^2-p^2$ すなわち $(q-p)(q+p-1)=0$ [1] $p=q$ のとき，① より $p^2+p-1=0$．$p\geqq 0$ より $p=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ [2] $p+q=1$ のとき，① に $q=1-p$ を代入して $1-p=1-p^2$ より $p(p-1)=0$ $p=0$ のとき $q=1$，$p=1$ のとき $q=0$（いずれも $p\geqq 0$，$q\geqq 0$ を満たす） 以上から，共有点は \[ \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\ \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right),\quad (0,\,1),\quad (1,\,0) \]