増加関数と逆関数の交点を y=x で求める（B）

(1) $f(x)=(x+1)^2-1$ で，定義域 $x\geqq -1$ に対して値域は $y\geqq -1$ である． $(x+1)^2=y+1$，$x+1\geqq 0$ より $x=-1+\sqrt{y+1}$．$x$ と $y$ を入れかえて \[ f^{-1}(x)=-1+\sqrt{x+1}\quad (x\geqq -1) \] (2) $f(x)$ は $x\geqq -1$ で増加関数であるから，2 つのグラフの共有点は直線 $y=x$ 上にある． （2 つのグラフの共有点を $(a,\,b)$ とすると，$b=f(a)$，$a=f(b)$ である．$a<b$ とすると，$f$ が増加関数であることから $b=f(a)<f(b)=a$ となり矛盾．$a>b$ とすると $b=f(a)>f(b)=a$ となり，やはり矛盾．よって $a=b$ である．） $x^2+2x=x$ を解くと $x(x+1)=0$ より $x=0,\ -1$（いずれも $x\geqq -1$ を満たす） よって，共有点は $(0,\,0)$，$(-1,\,-1)$