増加関数と逆関数の交点を y=x で求める（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 増加関数と逆関数の交点を y=x で求める（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
関数 $f(x)=\sqrt{4x-3}$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めよ．
\item[(2)] $y=f(x)$ のグラフと $y=f^{-1}(x)$ のグラフの共有点の座標を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $f(x)$ の定義域は $x\geqq\dfrac{3}{4}$，値域は $y\geqq 0$ である．
$y^2=4x-3$ より $x=\dfrac{y^2+3}{4}$．$x$ と $y$ を入れかえて
\[ f^{-1}(x)=\frac{x^2+3}{4}\quad (x\geqq 0) \]
(2) $f(x)$ は増加関数であるから，2 つのグラフの共有点は直線 $y=x$ 上にある．
（2 つのグラフの共有点を $(a,\,b)$ とすると，$b=f(a)$，$a=f(b)$ である．$a<b$ とすると，$f$ が増加関数であることから $b=f(a)<f(b)=a$ となり矛盾．$a>b$ とすると $b=f(a)>f(b)=a$ となり，やはり矛盾．よって $a=b$ である．）
$\sqrt{4x-3}=x$ を解くと，$x\geqq 0$ のもとで $4x-3=x^2$ より $x=1,\ 3$
よって，共有点は $(1,\,1)$，$(3,\,3)$
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