逆関数が自分自身になる分数関数（B）

$f(x)=\dfrac{a}{2}+\dfrac{2-ab}{2(2x+b)}$ であり，$f(x)$ は定数関数でないから $2-ab\neq 0$ である．よって，$f(x)$ の値域は $y\neq\dfrac{a}{2}$ である． $y=\dfrac{ax+1}{2x+b}$ とおくと $2xy+by=ax+1$ より $x(2y-a)=-by+1$ $2y-a\neq 0$ であるから $x=\dfrac{-by+1}{2y-a}$ $x$ と $y$ を入れかえて，逆関数は $f^{-1}(x)=\dfrac{-bx+1}{2x-a}$ $f^{-1}(x)=f(x)$ が恒等的に成り立つ条件を調べる．分母を払って \[ (ax+1)(2x-a)=(-bx+1)(2x+b) \] \[ 2ax^2+(2-a^2)x-a=-2bx^2+(2-b^2)x+b \] 係数を比べて $2a=-2b$，$2-a^2=2-b^2$，$-a=b$．これらはすべて $a+b=0$ と同値である． 逆に，$a+b=0$ のとき，$f(x)=\dfrac{ax+1}{2x-a}$，$f^{-1}(x)=\dfrac{ax+1}{2x-a}$ となり，$f^{-1}(x)=f(x)$ が成り立つ．また，$2-ab=2+a^2\neq 0$ であるから，$f(x)$ が定数関数でないという条件も満たす． よって，求める条件は $a+b=0$