逆関数が自分自身になる分数関数（A）

$f(x)=\dfrac{2(x+c)+3-2c}{x+c}=2+\dfrac{3-2c}{x+c}$ であるから，$3-2c=0$ のとき $f(x)$ は定数関数となり，逆関数をもたない．よって $3-2c\neq 0$ であり，このとき $f(x)$ の値域は $y\neq 2$ である． $y=\dfrac{2x+3}{x+c}$ とおくと $xy+cy=2x+3$ より $x(y-2)=-cy+3$ $y\neq 2$ であるから $x=\dfrac{-cy+3}{y-2}$ となり，逆関数は \[ f^{-1}(x)=\frac{-cx+3}{x-2} \] $f^{-1}(x)=f(x)$ がすべての $x$（定義域）で成り立つ条件は \[ \frac{2x+3}{x+c}=\frac{-cx+3}{x-2} \] 分母を払って $(2x+3)(x-2)=(-cx+3)(x+c)$ \[ 2x^2-x-6=-cx^2+(3-c^2)x+3c \] 係数を比べて $2=-c$，$-1=3-c^2$，$-6=3c$．これらをすべて満たすのは $c=-2$ 逆に，$c=-2$ のとき $3-2c=7\neq 0$ であり，$f(x)=\dfrac{2x+3}{x-2}$，$f^{-1}(x)=\dfrac{2x+3}{x-2}$ となるから，$f^{-1}(x)=f(x)$ が成り立つ． よって $c=-2$