無理方程式の解の個数（直線の平行移動）（B）

$y=\sqrt{4-2x}$ のグラフと直線 $y=-x+k$ の共有点の個数を調べる． 直線 $y=-x+k$ が点 $(2,\,0)$ を通るとき $k=2$ 直線がグラフに接するときを調べる．両辺を 2 乗して整理すると \[ x^2+(2-2k)x+k^2-4=0 \] この判別式について $\dfrac{D}{4}=(1-k)^2-(k^2-4)=5-2k$ で，$D=0$ より $k=\dfrac{5}{2}$．このとき重解は $x=\dfrac{3}{2}$ で，$-x+k=1>0$ であるから確かに接する． 下図より \begin{itemize} \item $k<2$ のとき 1 個 \item $2\leqq k<\dfrac{5}{2}$ のとき 2 個 \item $k=\dfrac{5}{2}$ のとき 1 個 \item $k>\dfrac{5}{2}$ のとき 0 個 \end{itemize}