無理方程式の解の個数（直線の平行移動）（A）

$y=\sqrt{x+1}$ のグラフと直線 $y=x+k$ の共有点の個数を調べる． 直線 $y=x+k$ が点 $(-1,\,0)$ を通るとき $k=1$ 直線がグラフに接するときを調べる．$\sqrt{x+1}=x+k$ の両辺を 2 乗して整理すると \[ x^2+(2k-1)x+k^2-1=0 \] この判別式は $D=(2k-1)^2-4(k^2-1)=-4k+5$ で，$D=0$ より $k=\dfrac{5}{4}$．このとき重解は $x=-\dfrac{3}{4}$ で，$x+k=\dfrac{1}{2}>0$ であるから確かに接する． 下図より \begin{itemize} \item $k<1$ のとき 1 個 \item $1\leqq k<\dfrac{5}{4}$ のとき 2 個 \item $k=\dfrac{5}{4}$ のとき 1 個 \item $k>\dfrac{5}{4}$ のとき 0 個 \end{itemize}