分数方程式の解の個数（判別式と直線との共有点）（B）

$x\neq -1$ のもとで両辺に $x+1$ を掛けると \[ x+3=kx(x+1) \quad\text{すなわち}\quad kx^2+(k-1)x-3=0 \quad\cdots\text{①} \] ① に $x=-1$ を代入すると $k-(k-1)-3=-2\neq 0$ であるから，① は $x=-1$ を解にもたない． [1] $k=0$ のとき，① は $-x-3=0$ となり，解は $x=-3$ の 1 個． [2] $k\neq 0$ のとき，① は 2 次方程式で，判別式は \[ D=(k-1)^2+12k=k^2+10k+1 \] $D=0$ となるのは $k=-5\pm 2\sqrt{6}$ のときである．$D>0$ となるのは $k<-5-2\sqrt{6}$，$-5+2\sqrt{6}<k$ のとき． 以上から \begin{itemize} \item $k<-5-2\sqrt{6}$，$-5+2\sqrt{6}<k<0$，$0<k$ のとき 2 個 \item $k=-5\pm 2\sqrt{6}$，$k=0$ のとき 1 個 \item $-5-2\sqrt{6}<k<-5+2\sqrt{6}$ のとき 0 個 \end{itemize} （$y=\dfrac{2}{x+1}+1$ のグラフと，原点を通る直線 $y=kx$ の共有点の個数を考えてもよい．$k=0$ のときは漸近線と平行な直線 $y=0$ である．）