分数方程式の解の個数（判別式と直線との共有点）（A）

$x\neq 1$ のもとで両辺に $x-1$ を掛けると \[ 2x+1=(-x+k)(x-1) \quad\text{すなわち}\quad x^2+(1-k)x+k+1=0 \quad\cdots\text{①} \] ① に $x=1$ を代入すると $1+(1-k)+k+1=3\neq 0$ であるから，① は $x=1$ を解にもたない．よって，求める個数は ① の異なる実数解の個数に等しい． ① の判別式を $D$ とすると \[ D=(1-k)^2-4(k+1)=k^2-6k-3 \] $D>0$ となるのは $k<3-2\sqrt{3}$，$3+2\sqrt{3}<k$ のとき，$D=0$ となるのは $k=3\pm 2\sqrt{3}$ のとき，$D<0$ となるのは $3-2\sqrt{3}<k<3+2\sqrt{3}$ のときである． したがって \begin{itemize} \item $k<3-2\sqrt{3}$，$3+2\sqrt{3}<k$ のとき 2 個 \item $k=3\pm 2\sqrt{3}$ のとき 1 個 \item $3-2\sqrt{3}<k<3+2\sqrt{3}$ のとき 0 個 \end{itemize} （図のように，$y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ のグラフと傾き $-1$ の直線 $y=-x+k$ の共有点の個数を考えてもよい．）