X²+Y² の平均を求める（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: X²+Y² の平均を求める（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
確率変数 $X$，$Y$ は互いに独立で，$E(X)=1$，$V(X)=2$，$E(Y)=-1$，$V(Y)=3$ である．次の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $E(X^2+Y^2)$
\item[(2)] $E((X+Y)^2)$
\end{enumerate}
$V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$ より $E(X^2)=V(X)+\{E(X)\}^2$．
\[ E(X^2)=2+1^2=3,\qquad E(Y^2)=3+(-1)^2=4 \]
(1) $E(X^2+Y^2)=3+4=7$
(2) $E((X+Y)^2)=E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)$．$X$，$Y$ は独立であるから $E(XY)=E(X)E(Y)=-1$．
\[ E((X+Y)^2)=3-2+4=5 \]
（別解：$V(X+Y)=2+3=5$，$E(X+Y)=0$ より $E((X+Y)^2)=V(X+Y)+\{E(X+Y)\}^2=5$）
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