2つの確率変数の同時分布（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 2つの確率変数の同時分布（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$1,\ 2,\ 2,\ 3$ の数が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードから，1 枚ずつ 2 枚を順に取り出す（取り出したカードは戻さない）．1 枚目の数を $X$，2 枚目の数を $Y$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $X$ と $Y$ の同時分布を表にまとめよ．
\item[(2)] $P(X<Y)$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 4 枚のカードを区別すると，取り出し方は $4\cdot 3=12$ 通りで同様に確からしい．$2$ のカードが 2 枚あることに注意して数えると，同時分布は次のようになる（確率は分母 12 を省略して分子だけ記す）．
\[ \begin{array}{c|ccc|c} X\backslash Y & 1 & 2 & 3 & \text{計} \\ \hline 1 & 0 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 6 \\ 3 & 1 & 2 & 0 & 3 \\ \hline \text{計} & 3 & 6 & 3 & 12 \end{array} \]
すなわち $P(X=1,\ Y=2)=\dfrac{2}{12}$ などである．
(2) $X<Y$ となるのは $(X,\ Y)=(1,\ 2),\ (1,\ 3),\ (2,\ 3)$ の場合であるから
\[ P(X<Y)=\frac{2+1+2}{12}=\frac{5}{12} \]
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