期待値と標準偏差・分散の条件から aX+b の係数を決める（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 期待値と標準偏差・分散の条件から aX+b の係数を決める（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
あるテストの得点 $X$ の平均は $60$ 点，標準偏差は $15$ 点である．得点を $Y=aX+b$（$a>0$）と変換して，平均 $50$ 点，標準偏差 $10$ 点にしたい．定数 $a$，$b$ の値を求めよ．また，もとの得点が $90$ 点の人の変換後の得点を求めよ．
$E(Y)=aE(X)+b=60a+b$，$\sigma(Y)=|a|\sigma(X)=15a$（$a>0$）であるから
\[ 60a+b=50,\qquad 15a=10 \]
よって $a=\dfrac{2}{3}$，$b=50-40=10$
もとの得点が $90$ 点のとき $Y=\dfrac{2}{3}\cdot 90+10=70$ 点
（$90$ 点は平均より標準偏差 2 つ分高く，変換後も $50+2\cdot 10=70$ 点と同じ位置にある．）
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