二項定理を用いて期待値・分散を導く（B）

(1) $2\leqq k\leqq n$ のとき \[ k(k-1)\,{}_n\mathrm{C}_k=\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}=n(n-1)\,{}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2} \] $P(X=k)={}_n\mathrm{C}_kp^kq^{n-k}$ であり，$k=0,\ 1$ の項は $0$ であるから，$j=k-2$ とおいて二項定理を用いると \begin{align*} E(X(X-1))&=\sum_{k=0}^{n}k(k-1)\,{}_n\mathrm{C}_kp^kq^{n-k}=\sum_{k=2}^{n}n(n-1)\,{}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2}p^kq^{n-k}\\ &=n(n-1)p^2\sum_{j=0}^{n-2}{}_{n-2}\mathrm{C}_j p^jq^{n-2-j}=n(n-1)p^2(p+q)^{n-2}=n(n-1)p^2 \end{align*} (2) $k^2=k(k-1)+k$ であるから \[ E(X^2)=\sum_{k=0}^{n}k^2P(X=k)=\sum_{k=0}^{n}k(k-1)P(X=k)+\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)=E(X(X-1))+E(X)=n(n-1)p^2+np \] よって \[ V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=n(n-1)p^2+np-n^2p^2=np-np^2=np(1-p)=npq \]