二項定理を用いて期待値・分散を導く（A）

まず等式を確かめる． \[ k\cdot{}_n\mathrm{C}_k=k\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!}=n\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!\{(n-1)-(k-1)\}!}=n\cdot{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \] $P(X=k)={}_n\mathrm{C}_k p^kq^{n-k}$ であり，$k=0$ の項は $0$ であるから \begin{align*} E(X)&=\sum_{k=0}^{n}k\cdot{}_n\mathrm{C}_k p^kq^{n-k}=\sum_{k=1}^{n}n\cdot{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}p^kq^{n-k}\\ &=np\sum_{k=1}^{n}{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)} \end{align*} $j=k-1$ とおくと，二項定理より \[ \sum_{j=0}^{n-1}{}_{n-1}\mathrm{C}_j p^jq^{n-1-j}=(p+q)^{n-1}=1 \] よって $E(X)=np$