Σ を使って n を含む確率分布の期待値・分散を求める（B）

札は全部で $1+2+\cdots+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$ 枚あるから \[ P(X=k)=\frac{k}{\frac{1}{2}n(n+1)}=\frac{2k}{n(n+1)}\quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n) \] \[ E(X)=\sum_{k=1}^{n}k\cdot\frac{2k}{n(n+1)}=\frac{2}{n(n+1)}\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)=\frac{2n+1}{3} \] \[ E(X^2)=\sum_{k=1}^{n}k^2\cdot\frac{2k}{n(n+1)}=\frac{2}{n(n+1)}\cdot\frac{1}{4}n^2(n+1)^2=\frac{n(n+1)}{2} \] \[ V(X)=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(2n+1)^2}{9}=\frac{9n^2+9n-2(4n^2+4n+1)}{18}=\frac{n^2+n-2}{18}=\frac{(n-1)(n+2)}{18} \] （確認：$n=2$ のとき札は $1,\ 2,\ 2$ で，$E(X)=\dfrac{5}{3}$，$V(X)=3-\dfrac{25}{9}=\dfrac{2}{9}$）