Σ を使って n を含む確率分布の期待値・分散を求める（A）

$P(X=k)=\dfrac{1}{n}\ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$ であるから \[ E(X)=\sum_{k=1}^{n}k\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{2}n(n+1)=\frac{n+1}{2} \] \[ E(X^2)=\sum_{k=1}^{n}k^2\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)=\frac{(n+1)(2n+1)}{6} \] \[ V(X)=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{(n+1)^2}{4}=\frac{(n+1)\{2(2n+1)-3(n+1)\}}{12}=\frac{(n+1)(n-1)}{12}=\frac{n^2-1}{12} \] （$n=6$ とすると，さいころの目の期待値 $\dfrac{7}{2}$，分散 $\dfrac{35}{12}$ と一致する．）