確率分布から期待値を求める（A）

$k=1,\ 2,\ \cdots,\ 6$ とする．$X\leqq k$ となるのは 2 個とも $k$ 以下の目が出るときで，その確率は $\dfrac{k^2}{36}$ である．$X=k$ となるのは，$X\leqq k$ であって $X\leqq k-1$ でないときであるから（$k=1$ のとき $P(X\leqq 0)=0$） \[ P(X=k)=\frac{k^2-(k-1)^2}{36}=\frac{2k-1}{36}\quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ 6) \] $X$ の確率分布は次の表のようになる． \[ \begin{array}{c|cccccc|c} X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \text{計} \\ \hline P & \dfrac{1}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{11}{36} & 1 \end{array} \] よって \[ E(X)=\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 5+4\cdot 7+5\cdot 9+6\cdot 11}{36}=\frac{161}{36} \]