n≦k のすべてを仮定する数学的帰納法（B）

[1] $n=1$ のとき　$a_1^{\,2}=a_1^{\,3}$ で，$a_1>0$ より $a_1=1$．よって成り立つ． [2] $n\leqq k$ を満たすすべての自然数 $n$ で $a_n=n$ が成り立つと仮定する．このとき \[ a_1+\cdots+a_k=\frac{1}{2}k(k+1),\qquad a_1^{\,3}+\cdots+a_k^{\,3}=\frac{1}{4}k^2(k+1)^2 \] 条件式で $n=k+1$ とし，$a_{k+1}=x$ とおくと \[ \left\{\frac{1}{2}k(k+1)+x\right\}^2=\frac{1}{4}k^2(k+1)^2+x^3 \] 展開して整理すると $k(k+1)x+x^2=x^3$．$x>0$ で割って \[ x^2-x-k(k+1)=0 \qquad (x-k-1)(x+k)=0 \] $x>0$ より $x=k+1$．よって $n=k+1$ のときも成り立つ． [1]，[2] から，すべての自然数 $n$ について $a_n=n$ である． （$n=k$ だけでなく $n\leqq k$ のすべての場合を仮定しているのは，和 $a_1+\cdots+a_k$ を求めるのに $a_1,\ \cdots,\ a_k$ すべての値が必要だからである．）