n≦k のすべてを仮定する数学的帰納法（A）

「$n$ は $3a+5b$（$a$，$b$ は 0 以上の整数）の形に表される」を ① とする． [1] $n=8,\ 9,\ 10$ のとき \[ 8=3\cdot 1+5\cdot 1,\qquad 9=3\cdot 3+5\cdot 0,\qquad 10=3\cdot 0+5\cdot 2 \] であるから ① は成り立つ． [2] $k\geqq 10$ として，$8\leqq n\leqq k$ を満たすすべての $n$ で ① が成り立つと仮定する． $n=k+1$ のとき，$8\leqq k-2\leqq k$ であるから，仮定より $k-2=3a+5b$（$a,\ b\geqq 0$）と表される．よって \[ k+1=(k-2)+3=3(a+1)+5b \] となり，$n=k+1$ のときも ① は成り立つ． [1]，[2] から，$8$ 以上のすべての自然数 $n$ について ① は成り立つ． （下図のように，$8,\ 9,\ 10$ から 3 ずつ加えていけば，$8$ 以上のすべての自然数に到達する．）