n=k, k+1 を仮定する数学的帰納法（B）

[1] $n=1,\ 2$ のとき　$a_1=1<\dfrac{5}{3}$，$a_2=2<\dfrac{25}{9}$ であるから成り立つ． [2] $n=k,\ k+1$ のとき成り立つ，すなわち $a_k\leqq\left(\dfrac{5}{3}\right)^k$，$a_{k+1}\leqq\left(\dfrac{5}{3}\right)^{k+1}$ と仮定する．このとき \[ a_{k+2}=a_{k+1}+a_k\leqq\left(\frac{5}{3}\right)^{k+1}+\left(\frac{5}{3}\right)^k=\left(\frac{5}{3}\right)^k\left(\frac{5}{3}+1\right)=\frac{8}{3}\left(\frac{5}{3}\right)^k \] 一方 $\left(\dfrac{5}{3}\right)^{k+2}=\dfrac{25}{9}\left(\dfrac{5}{3}\right)^k$ であり，$\dfrac{8}{3}=\dfrac{24}{9}<\dfrac{25}{9}$ であるから \[ a_{k+2}\leqq\left(\frac{5}{3}\right)^{k+2} \] よって $n=k+2$ のときも成り立つ． [1]，[2] から，すべての自然数 $n$ について不等式は成り立つ．