n=k, k+1 を仮定する数学的帰納法（A）

解と係数の関係より $\alpha+\beta=3$，$\alpha\beta=1$．$a_n=\alpha^n+\beta^n$ とおくと \[ a_{n+2}=(\alpha+\beta)(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})-\alpha\beta(\alpha^n+\beta^n)=3a_{n+1}-a_n \quad\cdots\text{①} \] 「$a_n$ は整数である」を ② として，下図のように「$n=k,\ k+1$ で成り立てば $n=k+2$ で成り立つ」ことを示す． [1] $n=1,\ 2$ のとき　$a_1=\alpha+\beta=3$，$a_2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=7$ で，ともに整数． [2] $n=k,\ k+1$ のとき ② が成り立つ，すなわち $a_k$，$a_{k+1}$ が整数であると仮定する．① より $a_{k+2}=3a_{k+1}-a_k$ は整数であるから，$n=k+2$ のときも ② は成り立つ． [1]，[2] から，すべての自然数 $n$ について $\alpha^n+\beta^n$ は整数である．