ₚCᵣ の性質と nᵖ−n の倍数性（B）

$30=2\cdot 3\cdot 5$ で，$2,\ 3,\ 5$ はどの 2 つも互いに素であるから，$n^5-n$ が $6$ の倍数かつ $5$ の倍数であることを示せばよい． 6 の倍数であること　 \[ n^5-n=n(n^4-1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1) \] $(n-1)n(n+1)$ は連続する 3 つの整数の積であるから $6$ の倍数．よって $n^5-n$ は $6$ の倍数． 5 の倍数であること（数学的帰納法） [1] $n=1$ のとき　$1-1=0$ は $5$ の倍数． [2] $n=k$ のとき $k^5-k$ が $5$ の倍数であると仮定する． \begin{align*} (k+1)^5-(k+1)&=k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-k-1\\ &=(k^5-k)+5(k^4+2k^3+2k^2+k) \end{align*} 仮定より右辺は $5$ の倍数であるから，$n=k+1$ のときも成り立つ． [1]，[2] から，すべての自然数 $n$ について $n^5-n$ は $5$ の倍数． 以上より，$n^5-n$ は $30$ の倍数である．