ₚCᵣ の性質と nᵖ−n の倍数性（A）

(1) ${}_p\mathrm{C}_r=\dfrac{p!}{r!(p-r)!}$ より \[ r\cdot{}_p\mathrm{C}_r=p\cdot\frac{(p-1)!}{(r-1)!(p-r)!}=p\cdot{}_{p-1}\mathrm{C}_{r-1} \] 右辺は $p$ の倍数であるから，$r\cdot{}_p\mathrm{C}_r$ は $p$ の倍数．$1\leqq r\leqq p-1$ より $r$ は $p$ で割り切れず，$p$ は素数であるから $r$ と $p$ は互いに素．よって ${}_p\mathrm{C}_r$ は $p$ の倍数である． (2) 「$n^p-n$ は $p$ の倍数である」を ① とする． [1] $n=1$ のとき　$1^p-1=0$ は $p$ の倍数であるから，① は成り立つ． [2] $n=k$ のとき ① が成り立つと仮定する．二項定理より \begin{align*} (k+1)^p-(k+1)&=k^p+\sum_{r=1}^{p-1}{}_p\mathrm{C}_r k^r+1-k-1\\ &=(k^p-k)+\sum_{r=1}^{p-1}{}_p\mathrm{C}_r k^r \end{align*} 仮定より $k^p-k$ は $p$ の倍数であり，(1) より ${}_p\mathrm{C}_r\ (1\leqq r\leqq p-1)$ はすべて $p$ の倍数である．よって $(k+1)^p-(k+1)$ は $p$ の倍数となり，$n=k+1$ のときも ① は成り立つ． [1]，[2] から，すべての自然数 $n$ について $n^p-n$ は $p$ の倍数である．