一般項を推測して帰納法で証明する（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 一般項を推測して帰納法で証明する（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$a_1=3,\quad a_{n+1}=a_n^{\,2}-2na_n+2$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a_2$，$a_3$，$a_4$ を求め，一般項 $a_n$ を推測せよ．
\item[(2)] (1) の推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．
\end{enumerate}
(1) $a_2=9-6+2=5$，$a_3=25-20+2=7$，$a_4=49-42+2=9$
よって $a_n=2n+1$ と推測できる．
(2) $a_n=2n+1$ …① とする．
[1] $n=1$ のとき $a_1=3=2\cdot 1+1$ であるから ① は成り立つ．
[2] $n=k$ のとき ① が成り立つ，すなわち $a_k=2k+1$ と仮定すると
\[ a_{k+1}=(2k+1)^2-2k(2k+1)+2=(2k+1)\{(2k+1)-2k\}+2=2k+3=2(k+1)+1 \]
よって $n=k+1$ のときも ① は成り立つ．
[1]，[2] から，すべての自然数 $n$ について $a_n=2n+1$
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