帰納法で不等式を証明する（B）

[1] $n=1$ のとき　左辺 $=1$，右辺 $=2-1=1$ であるから，不等式は成り立つ（等号成立）． [2] $n=k$ のとき成り立つと仮定する．$n=k+1$ のとき，仮定より \[ 1+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}\leqq 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2} \] したがって $2-\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\leqq 2-\dfrac{1}{k+1}$ を示せばよい． \begin{align*} \left(2-\frac{1}{k+1}\right)-\left(2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}\right)&=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{(k+1)^2}\\ &=\frac{(k+1)^2-k(k+1)-k}{k(k+1)^2}=\frac{1}{k(k+1)^2}>0 \end{align*} よって $n=k+1$ のときも成り立つ． [1]，[2] から，すべての自然数 $n$ について不等式は成り立つ．