帰納法で不等式を証明する（A）

（下図のように，$n=2,\ 4$ では等号，$n=3$ では $2^3<3^2$ であり，$n\geqq 5$ で $2^n>n^2$ となる．） [1] $n=5$ のとき　$2^5=32$，$5^2=25$ であるから，不等式は成り立つ． [2] $k\geqq 5$ として，$n=k$ のとき $2^k>k^2$ が成り立つと仮定する．$n=k+1$ のとき \[ 2^{k+1}-(k+1)^2=2\cdot 2^k-(k+1)^2>2k^2-(k+1)^2=k^2-2k-1=(k-1)^2-2 \] $k\geqq 5$ より $(k-1)^2-2\geqq 14>0$ であるから $2^{k+1}>(k+1)^2$．よって $n=k+1$ のときも成り立つ． [1]，[2] から，$5$ 以上のすべての自然数 $n$ について $2^n>n^2$ が成り立つ．