帰納法で倍数であることを証明する（A）

「$3^{2n}-1$ は $8$ の倍数である」を ① とする． [1] $n=1$ のとき　$3^2-1=8$ であるから，① は成り立つ． [2] $n=k$ のとき ① が成り立つと仮定すると，整数 $m$ を用いて $3^{2k}-1=8m$ と表される．$n=k+1$ のとき \begin{align*} 3^{2(k+1)}-1&=9\cdot 3^{2k}-1=9(8m+1)-1\\ &=72m+8=8(9m+1) \end{align*} $9m+1$ は整数であるから，$3^{2(k+1)}-1$ は $8$ の倍数である．よって $n=k+1$ のときも ① は成り立つ． [1]，[2] から，すべての自然数 $n$ について ① は成り立つ．