帰納法で和の公式を証明する（B）

[1] $n=1$ のとき　左辺 $=1$，右辺 $=\left(\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\right)^2=1$ であるから，① は成り立つ． [2] $n=k$ のとき ① が成り立つと仮定する．$n=k+1$ のときの ① の左辺は，仮定より \begin{align*} 1^3+\cdots+k^3+(k+1)^3&=\frac{1}{4}k^2(k+1)^2+(k+1)^3=\frac{1}{4}(k+1)^2\{k^2+4(k+1)\}\\ &=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2=\left\{\frac{1}{2}(k+1)(k+2)\right\}^2 \end{align*} よって $n=k+1$ のときも ① は成り立つ． [1]，[2] から，すべての自然数 $n$ について ① は成り立つ．