帰納法で和の公式を証明する（A）

[1] $n=1$ のとき　左辺 $=1\cdot 2=2$，右辺 $=\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2\cdot 3=2$ であるから，① は成り立つ． [2] $n=k$ のとき ① が成り立つと仮定すると \[ 1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots+k(k+1)=\frac{1}{3}k(k+1)(k+2) \] $n=k+1$ のときの ① の左辺を考えると，仮定より \begin{align*} 1\cdot 2+\cdots+k(k+1)+(k+1)(k+2)&=\frac{1}{3}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)\\ &=\frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3) \end{align*} これは ① で $n=k+1$ としたときの右辺である．よって $n=k+1$ のときも ① は成り立つ． [1]，[2] から，すべての自然数 $n$ について ① は成り立つ．