3つの部屋を移動する確率（B）

A にいるとき：A にとどまる確率 $\dfrac{2}{3}$（1〜4 の目），B へ移る確率 $\dfrac{1}{3}$． B にいるとき：A，B，C へそれぞれ確率 $\dfrac{1}{3}$． C にいるとき：B へ移る確率 $\dfrac{1}{3}$，C にとどまる確率 $\dfrac{2}{3}$．よって \[ a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}b_n,\qquad b_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+b_n+c_n),\qquad c_{n+1}=\frac{1}{3}b_n+\frac{2}{3}c_n \] ここで，0 回投げた後を考えて $a_0=1$，$b_0=c_0=0$ とすると，これらの式は $n=0$ のときも成り立つ．$a_n+b_n+c_n=1\ (n\geqq 0)$ であるから $b_{n+1}=\dfrac{1}{3}$．すなわち $n\geqq 1$ で $b_n=\dfrac{1}{3}$． 1 つ目と 3 つ目の式を辺々引くと $a_{n+1}-c_{n+1}=\dfrac{2}{3}(a_n-c_n)$．$a_0-c_0=1$ であるから，数列 $\{a_n-c_n\}\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ は初項 $1$，公比 $\dfrac{2}{3}$ の等比数列で $a_n-c_n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$． また $n\geqq 1$ のとき $a_n+c_n=1-b_n=\dfrac{2}{3}$．よって \[ a_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n,\qquad b_n=\frac{1}{3},\qquad c_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n \] （確認：$a_1=\dfrac{2}{3}$，$c_1=0$）