3つの部屋を移動する確率（A）

移り方は下図のとおりであるから \[ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}b_n,\qquad b_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}c_n,\qquad c_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{1}{2}c_n \] また $a_n+b_n+c_n=1$，$a_0=1$，$b_0=c_0=0$ である． $b_n$ について　$b_{n+1}=\dfrac{1}{2}(1-b_n)$ より $b_{n+1}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}\left(b_n-\dfrac{1}{3}\right)$．$b_0-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}$ であるから，数列 $\left\{b_n-\dfrac{1}{3}\right\}\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ は初項 $-\dfrac{1}{3}$，公比 $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列で \[ b_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \] $a_n-c_n$ について　1 つ目と 3 つ目の式を辺々引くと $a_{n+1}-c_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a_n-c_n)$．$a_0-c_0=1$ であるから，数列 $\{a_n-c_n\}\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ は初項 $1$，公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列で $a_n-c_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ $a_n+c_n$ について　$a_n+c_n=1-b_n=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$ 以上より \begin{align*} a_n&=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^n+\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\\ c_n&=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \end{align*} （確認：$a_1=b_1=\dfrac{1}{2}$，$c_1=0$）