1歩か2歩で進む点の確率（3項間）（B）

座標 $n+2$ に止まるのは，座標 $n+1$ から 1 進む（確率 $\dfrac{2}{3}$）か，座標 $n$ から 2 進む（確率 $\dfrac{1}{3}$）かのどちらかであるから \[ p_{n+2}=\frac{2}{3}p_{n+1}+\frac{1}{3}p_n,\qquad p_0=1,\ p_1=\frac{2}{3} \] 変形すると $p_{n+2}+\dfrac{1}{3}p_{n+1}=p_{n+1}+\dfrac{1}{3}p_n$ であるから \[ p_{n+1}+\frac{1}{3}p_n=p_1+\frac{1}{3}p_0=1 \] $p_{n+1}=-\dfrac{1}{3}p_n+1$ より $p_{n+1}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{3}\left(p_n-\dfrac{3}{4}\right)$ であり，$p_0-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$ である．よって，数列 $\left\{p_n-\dfrac{3}{4}\right\}\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ は初項 $\dfrac{1}{4}$，公比 $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列であるから \[ p_n-\frac{3}{4}=\left(1-\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)^n \qquad\text{よって}\quad p_n=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)^n \] （確認：$p_2=\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{9}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{36}$）