1歩か2歩で進む点の確率（3項間）（A）

座標 $n+2$ に止まるのは，座標 $n+1$ に止まって表が出るか，座標 $n$ に止まって裏が出るかのどちらかであり，これらは排反である（下図）．よって \[ p_{n+2}=\frac{1}{2}p_{n+1}+\frac{1}{2}p_n,\qquad p_0=1,\ p_1=\frac{1}{2} \] 特性方程式 $x^2=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$ の解は $x=1,\ -\dfrac{1}{2}$．漸化式は \[ p_{n+2}+\frac{1}{2}p_{n+1}=p_{n+1}+\frac{1}{2}p_n \] と変形できるから，$p_{n+1}+\dfrac{1}{2}p_n=p_1+\dfrac{1}{2}p_0=1$（一定）． $p_{n+1}=-\dfrac{1}{2}p_n+1$ より $p_{n+1}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{2}\left(p_n-\dfrac{2}{3}\right)$ であり，$p_0-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$ である．よって，数列 $\left\{p_n-\dfrac{2}{3}\right\}\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ は初項 $\dfrac{1}{3}$，公比 $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列であるから \[ p_n-\frac{2}{3}=\left(1-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^n \qquad\text{よって}\quad p_n=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \] （確認：$p_2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$）