2つの状態の間を移る確率の漸化式（B）

$(n+1)$ 秒後に A にあるのは，$n$ 秒後に A 以外の頂点（確率 $1-p_n$）にあって，次に A へ移動する（確率 $\dfrac{1}{2}$）場合に限る．よって \[ p_{n+1}=\frac{1}{2}(1-p_n) \] $p_{n+1}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}\left(p_n-\dfrac{1}{3}\right)$ と変形できる．$p_0=1$ とみると，数列 $\left\{p_n-\dfrac{1}{3}\right\}\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ は初項 $p_0-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$，公比 $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列であるから \[ p_n-\frac{1}{3}=\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^n \qquad\text{よって}\quad p_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \] （確認：$p_1=0$，$p_2=\dfrac{1}{2}$）