2つの状態の間を移る確率の漸化式（A）

$(n+1)$ 回目までに 1 の目が偶数回出るのは，次のいずれかの場合である（下図）． \begin{itemize} \item $n$ 回目までに偶数回で，$(n+1)$ 回目に 1 以外の目が出る：確率 $p_n\cdot\dfrac{5}{6}$ \item $n$ 回目までに奇数回で，$(n+1)$ 回目に 1 の目が出る：確率 $(1-p_n)\cdot\dfrac{1}{6}$ \end{itemize} よって \[ p_{n+1}=\frac{5}{6}p_n+\frac{1}{6}(1-p_n)=\frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6} \] 変形すると $p_{n+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}\left(p_n-\dfrac{1}{2}\right)$ であり，$p_1=\dfrac{5}{6}$ である．よって，数列 $\left\{p_n-\dfrac{1}{2}\right\}$ は初項 $p_1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$，公比 $\dfrac{2}{3}$ の等比数列であるから \[ p_n-\frac{1}{2}=\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n \] よって $p_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$