図形のくり返しと等比数列の和（B）

(1) 直角三角形 $\mathrm{OP}_n\mathrm{Q}_n$ において $\mathrm{OQ}_n=\mathrm{OP}_n\cos 30^\circ$，直角三角形 $\mathrm{OQ}_n\mathrm{P}_{n+1}$ において $\mathrm{OP}_{n+1}=\mathrm{OQ}_n\cos 30^\circ$．よって \[ \mathrm{OP}_{n+1}=\mathrm{OP}_n\cos^2 30^\circ=\frac{3}{4}\mathrm{OP}_n \] $\mathrm{OP}_1=1$ であるから，数列 $\{\mathrm{OP}_n\}$ は初項 $1$，公比 $\dfrac{3}{4}$ の等比数列である．よって $\mathrm{OP}_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}$ (2) 折れ線を作る線分 $\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_1\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2,\ \cdots$ は，それぞれ直角三角形 $\mathrm{OP}_1\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{OQ}_1\mathrm{P}_2,\ \mathrm{OP}_2\mathrm{Q}_2,\ \cdots$ の $30^\circ$ の角の対辺である．これらの直角三角形は $\angle\mathrm{O}=30^\circ$ で互いに相似であり，(1) より斜辺 $\mathrm{OP}_1,\ \mathrm{OQ}_1,\ \mathrm{OP}_2,\ \cdots$ は 1 つ進むごとに $\cos 30^\circ$ 倍になるから，折れ線の線分も 1 本進むごとに長さが $\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 倍になる． $\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1=\mathrm{OP}_1\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ であり，$L_n$ は $2n$ 本の線分の和であるから \[ L_n=\frac{\frac{1}{2}\left\{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2n}\right\}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^n}{2-\sqrt{3}}=(2+\sqrt{3})\left\{1-\left(\frac{3}{4}\right)^n\right\} \]