図形のくり返しと等比数列の和（A）

(1) $P_n$ の 1 辺を $l_n$ とすると，$P_{n+1}$ の 1 辺は，直角をはさむ 2 辺が $\dfrac{1}{3}l_n$，$\dfrac{2}{3}l_n$ の直角三角形の斜辺であるから \[ l_{n+1}=\sqrt{\left(\frac{1}{3}l_n\right)^2+\left(\frac{2}{3}l_n\right)^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}l_n \] $l_1=1$ であるから，数列 $\{l_n\}$ は初項 $1$，公比 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ の等比数列である．よって $l_n=\left(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)^{n-1}$ (2) $S_n=l_n^{\,2}=\left(\dfrac{5}{9}\right)^{n-1}$ で，初項 $1$，公比 $\dfrac{5}{9}$ の等比数列である．よって \[ S_1+S_2+\cdots+S_n=\frac{1-\left(\frac{5}{9}\right)^n}{1-\frac{5}{9}}=\frac{9}{4}\left\{1-\left(\frac{5}{9}\right)^n\right\} \]