直線や円で分けられる平面の部分の個数（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 直線や円で分けられる平面の部分の個数（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
平面上に $n$ 個の円があり，どの 2 つの円も 2 点で交わり，どの 3 つの円も 1 点で交わらない．これらの円によって平面が分けられる部分の個数を $a_n$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a_{n+1}$ を $a_n$ と $n$ で表せ．
\item[(2)] $a_n$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $(n+1)$ 個目の円は，他の $n$ 個の円とそれぞれ 2 点で交わるから，$2n$ 個の異なる点をもつ．円周はこの $2n$ 個の点で $2n$ 個の弧に分けられ，各弧が既存の領域を 2 つに分ける．したがって
\[ a_{n+1}=a_n+2n \]
(2) $a_1=2$（円の内部と外部）．$n\geqq 2$ のとき
\[ a_n=2+\sum_{k=1}^{n-1}2k=2+(n-1)n=n^2-n+2 \]
これは $n=1$ のときも成り立つ．（$a_2=4$，$a_3=8$）
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