直線や円で分けられる平面の部分の個数（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/24
🔁 類題: 直線や円で分けられる平面の部分の個数（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
平面上に $n$ 本の直線があり，どの 2 本も平行でなく，どの 3 本も 1 点で交わらない．これらの直線によって平面が分けられる部分の個数を $a_n$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a_{n+1}$ を $a_n$ と $n$ で表せ．
\item[(2)] $a_n$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $n$ 本の直線が引かれているところに $(n+1)$ 本目の直線を引く．この直線は他の $n$ 本の直線と $n$ 個の点で交わり，それらの点は互いに異なる．
よって $(n+1)$ 本目の直線は $n$ 個の点で $n+1$ 個の部分（線分と半直線）に分けられ，その各部分が既存の領域を 2 つに分ける．したがって領域は $n+1$ 個増え
\[ a_{n+1}=a_n+n+1 \]
(2) $a_1=2$．$n\geqq 2$ のとき
\[ a_n=2+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)=2+\frac{1}{2}(n-1)n+(n-1)=\frac{1}{2}(n^2+n+2) \]
これは $n=1$ のときも成り立つ．（$a_3=7$，$a_4=11$）
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