Sₙ と aₙ の関係式から一般項を求める（B）

$n=1$ とすると $a_1=2a_1+1$ より $a_1=-1$． $S_{n+1}=2a_{n+1}+(n+1)^2$ から $S_n=2a_n+n^2$ を辺々引くと \[ a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n+2n+1 \qquad\text{すなわち}\quad a_{n+1}=2a_n-2n-1 \] $a_{n+1}-\{\alpha(n+1)+\beta\}=2\{a_n-(\alpha n+\beta)\}$ とおくと $a_{n+1}=2a_n-\alpha n+\alpha-\beta$． 係数を比べて $\alpha=2$，$\alpha-\beta=-1$ より $\beta=3$．よって \[ a_{n+1}-\{2(n+1)+3\}=2\{a_n-(2n+3)\} \] $\{a_n-(2n+3)\}$ は初項 $-1-5=-6$，公比 $2$ の等比数列で $a_n-(2n+3)=-6\cdot 2^{n-1}=-3\cdot 2^n$ よって $a_n=2n+3-3\cdot 2^n$ （確認：$a_2=-5$ で $S_2=-6=2\cdot(-5)+4$）