Sₙ と aₙ の関係式から一般項を求める（A）

$n=1$ とすると $a_1=2a_1+1$ より $a_1=-1$． $S_{n+1}=2a_{n+1}+(n+1)$ と $S_n=2a_n+n$ の辺々を引くと，$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ であるから \[ a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n+1 \qquad\text{すなわち}\quad a_{n+1}=2a_n-1 \] $a_{n+1}-1=2(a_n-1)$ より，$\{a_n-1\}$ は初項 $-2$，公比 $2$ の等比数列で \[ a_n-1=-2\cdot 2^{n-1}=-2^n \qquad\text{よって}\quad a_n=1-2^n \]