1次分数型の漸化式（特性方程式が異なる2解をもつ）（B）

$x=\dfrac{x+4}{x+1}$ とすると $x^2=4$ より $x=\pm 2$． \[ a_{n+1}-2=\frac{a_n+4-2(a_n+1)}{a_n+1}=\frac{-(a_n-2)}{a_n+1},\qquad a_{n+1}+2=\frac{3(a_n+2)}{a_n+1} \] $a_1>0$ で，$a_n>0$ ならば $a_{n+1}>0$ であるから，すべての $n$ で $a_n>0$（$a_n+1\neq 0$，$a_n+2\neq 0$）．比をとると \[ \frac{a_{n+1}-2}{a_{n+1}+2}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{a_n-2}{a_n+2} \] $b_n=\dfrac{a_n-2}{a_n+2}$ は初項 $\dfrac{1}{5}$，公比 $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列で $b_n=\dfrac{1}{5}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{5\cdot(-3)^{n-1}}$． $a_n=\dfrac{2(1+b_n)}{1-b_n}$ であるから，分母・分子に $5\cdot(-3)^{n-1}$ を掛けて \[ a_n=\frac{2\{5\cdot(-3)^{n-1}+1\}}{5\cdot(-3)^{n-1}-1} \] （確認：$a_2=\dfrac{7}{4}=\dfrac{2(-14)}{-16}$） 下図のように，$a_n$ は $2$ より大きい値と $2$ より小さい値を交互にとる．