1次分数型の漸化式（特性方程式が異なる2解をもつ）（A）

$x=\dfrac{4x-3}{x}$ とすると $x^2-4x+3=0$ より $x=1,\ 3$（異なる 2 解）． \[ a_{n+1}-3=\frac{a_n-3}{a_n},\qquad a_{n+1}-1=\frac{3(a_n-1)}{a_n} \] $a_1=4$ であり，$a_n>3$ ならば $a_{n+1}-3=\dfrac{a_n-3}{a_n}>0$ であるから，すべての $n$ で $a_n>3$（特に $a_n\neq 0,\ 1$）．2 式の比をとると \[ \frac{a_{n+1}-3}{a_{n+1}-1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a_n-3}{a_n-1} \] $b_n=\dfrac{a_n-3}{a_n-1}$ は初項 $\dfrac{1}{3}$，公比 $\dfrac{1}{3}$ の等比数列で $b_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$． $a_n-3=b_n(a_n-1)$ を $a_n$ について解くと $a_n=\dfrac{3-b_n}{1-b_n}$．分母・分子に $3^n$ を掛けて \[ a_n=\frac{3^{n+1}-1}{3^n-1} \] （確認：$a_2=\dfrac{13}{4}=\dfrac{26}{8}$）