1次分数型の漸化式（特性方程式が重解をもつ）（B）

$x=\dfrac{5x-4}{x+1}$ とすると $x^2-4x+4=0$ より $x=2$（重解）． \[ a_{n+1}-2=\frac{5a_n-4-2(a_n+1)}{a_n+1}=\frac{3(a_n-2)}{a_n+1} \] $a_1-2=1\neq 0$ であり，この式から $a_n\neq 2$ ならば $a_{n+1}\neq 2$．よってすべての $n$ で $a_n\neq 2$ である．逆数をとると \[ \frac{1}{a_{n+1}-2}=\frac{(a_n-2)+3}{3(a_n-2)}=\frac{1}{a_n-2}+\frac{1}{3} \] $b_n=\dfrac{1}{a_n-2}$ は初項 $1$，公差 $\dfrac{1}{3}$ の等差数列で $b_n=\dfrac{n+2}{3}$．よって \[ a_n=2+\frac{3}{n+2}=\frac{2n+7}{n+2} \] （確認：$a_2=\dfrac{11}{4}$）