1次分数型の漸化式（特性方程式が重解をもつ）（A）

$x=\dfrac{3x-1}{x+1}$ とすると $x^2-2x+1=0$ より $x=1$（重解）．そこで $a_n-1$ を考えると \[ a_{n+1}-1=\frac{3a_n-1-(a_n+1)}{a_n+1}=\frac{2(a_n-1)}{a_n+1} \] $a_1-1=1\neq 0$ であり，この式から $a_n\neq 1$ ならば $a_{n+1}\neq 1$．よってすべての $n$ で $a_n\neq 1$ である．逆数をとると \[ \frac{1}{a_{n+1}-1}=\frac{a_n+1}{2(a_n-1)}=\frac{(a_n-1)+2}{2(a_n-1)}=\frac{1}{a_n-1}+\frac{1}{2} \] $b_n=\dfrac{1}{a_n-1}$ は初項 $1$，公差 $\dfrac{1}{2}$ の等差数列で $b_n=\dfrac{n+1}{2}$．よって \[ a_n=1+\frac{2}{n+1}=\frac{n+3}{n+1} \]