aₙ+kbₙ の形をつくって解く連立漸化式（B）

$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=(3+\alpha)a_n+(\alpha-1)b_n$ が $k(a_n+\alpha b_n)$ となる条件は $k=3+\alpha$，$k\alpha=\alpha-1$． $k$ を消去すると $\alpha^2+2\alpha+1=0$ より $\alpha=-1$（重解），$k=2$．よって \[ a_{n+1}-b_{n+1}=2(a_n-b_n) \] $a_1-b_1=1$ であるから，数列 $\{a_n-b_n\}$ は初項 $1$，公比 $2$ の等比数列で $a_n-b_n=2^{n-1}$． これを $b_{n+1}=a_n+b_n$ に代入すると $b_{n+1}=2b_n+2^{n-1}$．両辺を $2^{n+1}$ で割ると \[ \frac{b_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{b_n}{2^n}+\frac{1}{4} \] $\left\{\dfrac{b_n}{2^n}\right\}$ は初項 $\dfrac{1}{2}$，公差 $\dfrac{1}{4}$ の等差数列で $\dfrac{b_n}{2^n}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{n-1}{4}=\dfrac{n+1}{4}$．よって \[ b_n=(n+1)2^{n-2},\qquad a_n=b_n+2^{n-1}=(n+3)2^{n-2} \] （確認：$a_2=5$，$b_2=3$）