aₙ+kbₙ の形をつくって解く連立漸化式（A）

$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=k(a_n+\alpha b_n)$ となる $\alpha$，$k$ を求める．左辺 $=(1+\alpha)a_n+(4+\alpha)b_n$ であるから \[ 1+\alpha=k,\qquad 4+\alpha=k\alpha \] $k$ を消去して $\alpha^2=4$ より $\alpha=\pm 2$． $\alpha=2$ のとき $k=3$：$a_{n+1}+2b_{n+1}=3(a_n+2b_n)$ で，$a_1+2b_1=3$ であるから，数列 $\{a_n+2b_n\}$ は初項 $3$，公比 $3$ の等比数列で $a_n+2b_n=3^n$ …① $\alpha=-2$ のとき $k=-1$：$a_{n+1}-2b_{n+1}=-(a_n-2b_n)$ で，$a_1-2b_1=-1$ であるから，数列 $\{a_n-2b_n\}$ は初項 $-1$，公比 $-1$ の等比数列で $a_n-2b_n=(-1)^n$ …② ①$+$② より $2a_n=3^n+(-1)^n$，①$-$② より $4b_n=3^n-(-1)^n$．よって \[ a_n=\frac{3^n+(-1)^n}{2},\qquad b_n=\frac{3^n-(-1)^n}{4} \] （別解：1 つ目の式から $b_n=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{4}$ として 2 つ目の式に代入すると，3 項間の漸化式 $a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n$ が得られる．これを $a_1=1$，$a_2=5$ のもとで解いてもよい．）