和と差をとって解く連立漸化式（B）

2 式を辺々加えると $a_{n+1}+b_{n+1}=4(a_n+b_n)$．$a_1+b_1=3$ であるから，数列 $\{a_n+b_n\}$ は初項 $3$，公比 $4$ の等比数列で \[ a_n+b_n=3\cdot 4^{n-1} \quad\cdots\text{①} \] 辺々引くと $a_{n+1}-b_{n+1}=2(a_n-b_n)$．$a_1-b_1=-1$ であるから，数列 $\{a_n-b_n\}$ は初項 $-1$，公比 $2$ の等比数列で \[ a_n-b_n=-2^{n-1} \quad\cdots\text{②} \] ①，② より \[ a_n=\frac{3\cdot 4^{n-1}-2^{n-1}}{2},\qquad b_n=\frac{3\cdot 4^{n-1}+2^{n-1}}{2} \] （確認：$a_2=5$，$b_2=7$）